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由兩個質量皆為μ、角頻率皆為ω的線諧振子構成的體系，加上微擾項Wˆ=-λx₁x₂（x₁,x₂分別為兩個線諧振子的坐標）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。

證明如下關系式

利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。 

證明如下關系式

質量為m的粒子在如下一維勢阱中運動（V₀＞0）

若已知該粒子在此勢阱中有一個能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度a。

已知氫原子在t=0時處于狀態(tài)其中φ_n(x)為該氫原子的第n個能量本征態(tài)。求能量及自旋z分量的取值概率與平均值，寫出t=0時的波函數(shù)。